a= airy (z)¶
a= airy (k,z)¶
a= airy (k,z,scale)¶
[a,ierr] = airy (…)¶
计算第一类和第二类艾里函数及其导数。
K Function Scale factor (if scale is true) --- -------- --------------------------------------- 0 Ai (Z) exp ((2/3) * Z * sqrt (Z)) 1 dAi(Z)/dZ exp ((2/3) * Z * sqrt (Z)) 2 Bi (Z) exp (-abs (real ((2/3) * Z * sqrt (Z)))) 3 dBi(Z)/dZ exp (-abs (real ((2/3) * Z * sqrt (Z))))
函数调用airy (z)相当于airy (0, z).
可选的第三个输入scale确定是否应用如上所述的缩放。默认情况下为false。
结果a大小与相同z.
可选输出ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
J= besselj (alpha,x)¶
J= besselj (alpha,x,opt)¶
[J,ierr] = besselj (…)¶
计算第一类贝塞尔函数。
贝塞尔函数的阶alpha必须是真实的。积分预测x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果Ji乘以exp (-abs (imag (x))) .
如果alpha是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与alpha如果alpha是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵length (x)行和length (alpha)柱。否则alpha和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
Y= bessely (alpha,x)¶
Y= bessely (alpha,x,opt)¶
[Y,ierr] = bessely (…)¶
计算第二类贝塞尔函数。
贝塞尔函数的阶alpha必须是真实的。积分预测x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果Yi乘以exp (-abs (imag (x))) .
如果alpha是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与alpha如果alpha是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵length (x)行和length (alpha)柱。否则alpha和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
NaN.
I= besseli (alpha,x)¶
I= besseli (alpha,x,opt)¶
[I,ierr] = besseli (…)¶
计算第一类修正贝塞尔函数。
贝塞尔函数的阶alpha必须是真实的。积分预测x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果Ii乘以exp (-abs (real (x))) .
如果alpha是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与alpha如果alpha是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵length (x)行和length (alpha)柱。否则alpha和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
NaN.
K= besselk (alpha,x)¶
K= besselk (alpha,x,opt)¶
[K,ierr] = besselk (…)¶
计算第二类修正贝塞尔函数。
贝塞尔函数的阶alpha必须是真实的。积分预测x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果Ki乘以exp (x) .
如果alpha是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与alpha如果alpha是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵length (x)行和length (alpha)柱。否则alpha和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
NaN.
H= besselh (alpha,x)¶
H= besselh (alpha,k,x)¶
H= besselh (alpha,k,x,opt)¶
[H,ierr] = besselh (…)¶
计算第三类贝塞尔函数(Hankel函数)。
贝塞尔函数的阶alpha必须是真实的。Hankel函数的类型从指定k并且可以是第一个(k=1)或秒(k2.默认为第一种Hankel函数。评估要点x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果乘以exp (-I*x)对于k=1或exp (I*x)对于k2.
如果alpha是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与alpha如果alpha是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵length (x)行和length (alpha)柱。否则alpha和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
NaN.
y= beta (a,b)¶
计算实际输入的贝塔函数a和b.
Beta函数的定义是
beta (a, b) = gamma (a) * gamma (b) / gamma (a + b).
Beta函数可能会变得很大,使用输出的对数通常比直接使用函数更有用。详见betaln,用于以有效的方式计算Betafunction的对数。
详见: betaln,betainc,betaincinv.
I= betainc (x,a,b)¶
I= betainc (x,a,b,tail)¶
计算不完全贝塔函数。
这被定义为
x
/
1 |
I_x (a, b) = ---------- | t^(a-1) (1-t)^(b-1) dt
beta (a,b) |
/
0
与真实x在[0,1]的范围内。输入a和b必须是真实的且严格正的(>0)。如果其中一个输入不是标量,那么其他输入必须是标量或具有兼容维度。
默认情况下,tail是"lower"和从0到积分的不完全贝塔函数x计算。如果tail是"upper"则互补函数从x计算为1。这两个选择的关系如下
β(x,a,b,"upper")=1-β(x,a,b,"lower").
betainc当"lower"值很小。
参考文献:A.Cuyt,V.Brevik Petersen,B.Verdonk,H.Waadeland,W.B.Jones,Handbook of Continued Fractions for Special Functions,ch。18.
详见: beta,betaincinv,betaln.
x= betaincinv (y,a,b)¶
x= betaincinv (y,a,b降低¶
x= betaincinv (y,a,b上面的¶
计算归一化不完全贝塔函数的逆。
归一化不完全贝塔函数定义为
x
/
1 |
I_x (a, b) = ---------- | t^(a-1) (1-t)^(b-1) dt
beta (a,b) |
/
0
如果两个输入是标量,那么betaincinv (y, a, b)对于其他输入中的每一个返回。
如果两个或多个输入不是标量,则它们的大小必须一致,并且betaincinv按元素应用。
变量y必须在区间[0,1]内,而a和b必须是真实的,严格意义上是正的。
默认情况下,tail是"lower"以及从0到积分的不完全贝塔函数的逆x计算。如果tail是"upper"则互补函数从x到1被反转。
该函数通过标准牛顿法计算,通过求解
y - betainc (x, a, b) = 0
lnb= betaln (a,b)¶
计算实际输入的贝塔函数的自然对数a和b.
betaln定义为
betaln (a, b) = log (beta (a, b))
并且以减少下溢的发生的方式进行计算。
Beta函数可能会变得很大,使用输出的对数通常比直接使用函数更有用。
详见: beta,betainc,betaincinv,gammaln.
b= bincoeff (n,k)¶
返回的二项式系数n和k.
二项式系数定义为
/ \ | n | n (n-1) (n-2) ... (n-k+1) | | = ------------------------- | k | k! \ /
例如
bincoeff (5, 2) ⇒ 10
在大多数情况下nchoosek函数对于小标量整数参数更快。它还警告说,这些参数会失去准确性。
详见: nchoosek.
k= commutation_matrix (m,n)¶
返回唯一的换向矩阵K(m,n)m*nxm*n矩阵,使得K(m,n)*vec(A)=vec(A')为所有的m通过n矩阵A..
如果只有一个参数m给出,K(m,m)返回。
详见Magnus和Neudecker(1988),Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics.
y= cosint (x)¶
计算余弦积分函数:
+oo
/
Ci (x) = - | (cos (t)) / t dt
/
x
等效的定义是
x
/
| cos (t) - 1
Ci (x) = gamma + log (x) + | ------------- dt
| t
/
0
参考
M.Abramowitz和I.A.Stegun,Handbook of Mathematical Functions, 1964.
d= duplication_matrix (n)¶
返回重复矩阵Dn哪一个是独一无二的N^2通过N*(N+1)/2矩阵,使得Dn * vech (A) = vec (A)对于所有对称N通过N矩阵A..
详见Magnus和Neudecker(1988),Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics.
v= dawson (z)¶
计算Dawson(缩放虚差)函数。
Dawson函数定义为
(sqrt (pi) / 2) * exp (-z^2) * erfi (z)
[sn,cn,dn,err] = ellipj (u,m)¶
[sn,cn,dn,err] = ellipj (u,m,tol)¶
计算Jacobi椭圆函数sn,cn和dn复杂参数u和实参数m.
如果m是标量,结果大小与u如果u是标量,结果大小与m如果u是列向量,并且m是一个行向量,结果是矩阵length (u)行和length (m)柱。否则u和m大小必须一致,结果将与输入大小相同。
的值u可能很复杂。的值m必须为0≤m≤ 1.
可选输入tol当前被忽略(MATLAB使用这个来允许更快、更不精确的近似)。
如果被指定,err包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
参考文献:Milton Abramowitz和Irene A Stegun,Handbook of Mathematical Functions,第16章(第16.4、16.13和16.15节),多佛,1965年。
详见: ellipke.
k= ellipke (m)¶
k= ellipke (m,tol)¶
[k,e] = ellipke (…)¶
计算第一个K的完全椭圆积分(m)和第二个E(m友善的
m必须是标量或实数数组,其中-Inf≤m≤ 1.
可选输入tol控制算法的停止容差,并默认为eps (class (m))可以增加误差范围以计算更快、更不精确的近似值。
当用一个输出调用时,只返回第一类椭圆积分。
数学注释:
第一类椭圆积分定义为
1
/ dt
K (m) = | ------------------------------
/ sqrt ((1 - t^2)*(1 - m*t^2))
0
第二类椭圆积分定义为
1
/ sqrt (1 - m*t^2)
E (m) = | ------------------ dt
/ sqrt (1 - t^2)
0
参考文献:Milton Abramowitz和Irene A.Stegun,Handbook of Mathematical Functions,第17章,多佛,1965年。
详见: ellipj.
v= erf (z)¶
计算误差函数。
错误函数定义为
z
2 /
erf (z) = --------- * | e^(-t^2) dt
sqrt (pi) /
t=0
v= erfcx (z)¶
计算缩放的互补误差函数。
缩放互补误差函数定义为
exp (z^2) * erfc (z)
y= expint (x)¶
计算指数积分。
指数积分定义为:
+oo
/
| exp (-t)
E_1 (x) = | -------- dt
| t
/
x
注意:为了兼容性,此函数使用MATLAB指数积分的定义。大多数其他来源将此特殊值称为E_1(x),以及指数积分为
+oo
/
| exp (-t)
Ei (x) = - | -------- dt
| t
/
-x
这两个定义是相关的,对于的正实数x通过E_1 (-x) = -Ei (x) - i*pi .
参考文献:
M.Abramowitz和I.A.Stegun,Handbook of Mathematical Functions, 1964.
N.Bleistein和R.A.Handelsman,Asymptotic expansions of integrals, 1986.
v= gamma (z)¶
计算Gamma函数。
Gamma函数定义为
infinity
/
gamma (z) = | t^(z-1) exp (-t) dt.
/
t=0
编程注意事项:即使输入值很小,gamma函数也会增长得很大。在许多情况下,最好使用伽玛函数的自然对数(gammaln)以将精度损失降至最低。最终结果是exp (result_using_gammaln).
y= gammainc (x,a)¶
y= gammainc (x,a,tail)¶
计算归一化的不完全伽玛函数。
这被定义为
x
1 /
gammainc (x, a) = --------- | exp (-t) t^(a-1) dt
gamma (a) /
t=0
极限值1为x接近无穷大。标准符号为P(a,x)例如,Abramowitz和Stegun(6.5.1)。
如果a是标量,则gammainc (x, a)为的每个元素返回x反之亦然。
如果两者都没有x也没有a是标量,那么的大小x和a必须同意,以及gammainc按元素应用。的元素a必须是非负数。
默认情况下,tail是"lower"和从0到积分的不完全伽玛函数x计算。如果tail是"upper"则互补函数从x计算到无穷大。
如果tail是"scaledlower",则下不完全gamf函数乘以gamma(a+1)*exp(x)/(x^a)如果tail是"scaledupper",则上不完全gamma函数乘以相同的量。
参考文献:
M.Abramowitz和I.A.Stegun,Handbook of mathematical functions,多佛出版社,股份有限公司,1972年。
W.Gautschi,A computational procedure for incomplete gamma functions,ACM Trans。数学软件,第466–481页,第5卷,2012年第4期。
W.H.出版社、S.A.Teukolsky、W.T.Vetterling和B.P.Flannery,Numerical Recipes in Fortran 77,第1卷,第6.2章,1992年。
详见: gamma,gammaincinv,gammaln.
x= gammaincinv (y,a)¶
x= gammaincinv (y,a,tail)¶
计算归一化不完全伽玛函数的逆。
归一化不完全伽玛函数定义为
x
1 /
gammainc (x, a) = --------- | exp (-t) t^(a-1) dt
gamma (a) /
t=0
和gammaincinv(gammainc (x, a),a) =x的每个非负值x如果a是标量,则gammaincinv (y, a)为的每个元素返回y反之亦然。
如果两者都没有y也没有a是标量,那么的大小y和a必须同意,以及gammaincinv按元素应用。变量y必须在间隔中[0,1]虽然a必须是真实和正的。
默认情况下,tail是"lower"和从0到积分的不完备伽马函数的逆x计算。如果tail是"upper",则互补函数集成自xtoinfinity反转。
函数是用牛顿法通过求解
y - gammainc (x, a) = 0
参考文献:A.Gil、J.Segura和N.M.Temme,Efficient and accurate algorithms for the computation and inversion of the incomplete gamma function ratios,SIAM J.Sci。《计算》,A2981,A22965页,第34卷,2012年。
l= legendre (n,x)¶
l= legendre (n,x,normalization)¶
计算相关的勒让德度函数n和秩序m= 0 …n.
价值n必须是实的非负整数。
x是实值元素在[-1,1]范围内的向量。
可选参数normalization可能是其中之一"unnorm","sch"或"norm"。如果没有规范化,则默认为givenis"unnorm".
当可选参数normalization是"unnorm",计算相关的勒让德度函数n和秩序mandrew返回的所有值m= 0 …n。返回值的一维数超过x.
度的相关勒让德函数n和秩序m:
m m 2 m/2 d^m P(x) = (-1) * (1-x ) * ---- P(x) n dx^m n
具有勒让德次数多项式n:
1 d^n 2 n P(x) = ------ [----(x - 1) ] n 2^n n! dx^n
legendre (3, [-1.0, -0.9, -0.8])返回矩阵:
x | -1.0 | -0.9 | -0.8 ------------------------------------ m=0 | -1.00000 | -0.47250 | -0.08000 m=1 | 0.00000 | -1.99420 | -1.98000 m=2 | 0.00000 | -2.56500 | -4.32000 m=3 | 0.00000 | -1.24229 | -3.24000
当可选参数normalization是"sch",计算了Schmidt半归一化关联勒让德函数。Schmidtsemi规范化的相关Legendre函数与未规范化的Legendre函数的关系如下:
对于勒让德度函数n和订单0:
0 0 SP(x) = P(x) n n
对于n阶和m阶的勒让德函数:
m m m 2(n-m)! 0.5 SP(x) = P(x) * (-1) * [-------] n n (n+m)!
当可选参数normalization是"norm",计算了完全归一化的相关勒让德函数。完全规范化的关联Legendre函数通过以下方式与未规范化的相关Legendre函数相关:
对于勒让德度函数n和秩序m
m m m (n+0.5)(n-m)! 0.5 NP(x) = P(x) * (-1) * [-------------] n n (n+m)!
y= gammaln (x)¶
y= lgamma (x)¶
返回的gamma函数的自然对数x.
编程说明:lgamma是的别名gammaln并且任一名称都可以在Octave中使用。
y= psi (z)¶
y= psi (k,z)¶
计算psi(polygamma)函数。
polygamma函数是kγ函数对数的第th导数。如果未指定,k默认为零。值为0计算digamma函数,值为1计算trigamma函数,依此类推。
digamma函数定义如下:
psi (z) = d (log (gamma (z))) / dx
计算digamma函数时(当k等于零),z可以具有任何实际值或复杂值。然而,对于polygamma函数(k高于0),z必须是真实的和非负面的。
y= sinint (x)¶
计算正弦积分函数:
x
/
Si (x) = | sin (t) / t dt
/
0
参考文献:M.Abramowitz和I.A.Stegun,Handbook of Mathematical Functions, 1964.
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