下一个：，前一个：，上级：线性代数   [目录][索引]

18.3 矩阵分解

 
R = chol (A)
[R, p] = chol (A)
[R, p, Q] = chol (A)
[R, p, Q] = chol (A, "vector")
[L, …] = chol (…, "lower")
[R, …] = chol (…, "upper")

计算实对称或复埃尔米特正定矩阵 A 的上 Cholesky 因子 R。

上 Cholesky 因子 R 通过使用矩阵 A 的上三角部分计算，定义为 

R' * R = A.

使用可选参数 "upper" 调用 chol 具有相同的行为。相反，使用可选参数 "lower" 时，chol 返回使用矩阵 A 下三角部分计算的下三角分解，使得 

L * L' = A.

当只使用一个输出参数调用时，如果矩阵 A 不是正定的，chol 会失败。请注意，如果矩阵 A 不是实对称或复埃尔米特矩阵，则下三角部分被视为上三角部分的（复共轭）转置，反之亦然（给定 "lower" 参数时）。

当使用两个或更多输出参数调用时，p 指示矩阵 A 是否为正定，并且 chol 不会失败。p 的值为零表示矩阵 A 是正定的，且 R 给出了分解。否则，p 将具有正值。

如果使用三个输出参数调用，矩阵 A 必须是稀疏的，并且在分解之前会对矩阵 A 应用保持稀疏性的行/列置换。即 R 是 A(Q,Q) 的分解，使得 

R' * R = Q' * A * Q.

保持稀疏性的置换通常以矩阵形式返回。然而，给定可选参数 "vector"，Q 将作为向量返回，使得 

R' * R = A(Q, Q).

通常，对于稀疏矩阵，下三角分解明显更快。

另请参阅： hess, lu, qr, qz, schur, svd, ichol, cholinv, chol2inv, cholupdate, cholinsert, choldelete, cholshift.

 
Ainv = cholinv (A)

使用 Cholesky 分解计算对称正定矩阵 A 的逆矩阵。

另请参阅： chol, chol2inv, inv.

 
Ainv = chol2inv (R)

从其 Cholesky 分解 R 求逆一个对称正定方阵。

注意 R 应该是一个对角元均为正的上三角矩阵。chol2inv (U) 提供 inv (R'*R)，但比使用 inv 快得多。

另请参阅： chol, cholinv, inv.

 
[R1, info] = cholupdate (R, u, op)

更新或降级 Cholesky 分解。

给定一个上三角矩阵 R 和一个列向量 u，尝试确定另一个上三角矩阵 R1，使得

  • 如果 op 是 "+"，则 R1'*R1 = R'*R + u*u'
  • 如果 op 是 "-"，则 R1'*R1 = R'*R - u*u'

如果 op 是 "-"，则 info 设置为

  • 0，如果降级成功，
  • 1，如果 R'*R - u*u' 不是正定的，
  • 2，如果 R 是奇异的。

如果 info 不存在，则在情况 1 和 2 中会打印错误消息。

另请参阅： chol, cholinsert, choldelete, cholshift.

 
R1 = cholinsert (R, j, u)
[R1, info] = cholinsert (R, j, u)

在原始分解矩阵中插入一行或一列后，更新 Cholesky 分解。

给定实对称或复埃尔米特正定矩阵 A = R'*R 的 Cholesky 分解，R 为上三角，返回 A1 的 Cholesky 分解，其中 A1(p,p) = A，A1(:,j) = A1(j,:)' = u，且 p = [1:j-1, j+1:n+1]。u(j) 应为正数。

返回时，info 设置为

  • 0，如果插入成功，
  • 1，如果 A1 不是正定的，
  • 2，如果 R 是奇异的。

如果 info 不存在，则在情况 1 和 2 中会打印错误消息。

另请参阅： chol, cholupdate, choldelete, cholshift.

 
R1 = choldelete (R, j)

从原始分解矩阵中删除一行或一列后，更新 Cholesky 分解。

给定实对称或复埃尔米特正定矩阵 A = R'*R 的 Cholesky 分解，R 为上三角，返回 A(p,p) 的 Cholesky 分解，其中 p = [1:j-1, j+1:n+1]。

另请参阅： chol, cholupdate, cholinsert, cholshift.

 
R1 = cholshift (R, i, j)

在原始分解矩阵中移动一定范围的列后，更新 Cholesky 分解。

给定实对称或复埃尔米特正定矩阵 A = R'*R 的 Cholesky 分解，R 为上三角，返回 A(p,p) 的 Cholesky 分解，其中 p 是置换
p = [1:i-1, circshift(i:j, 1), j+1:n] 如果 i < j
或
p = [1:j-1, circshift(j:i,-1), i+1:n] 如果 j < i。

另请参阅： chol, cholupdate, cholinsert, choldelete.

 
H = hess (A)
[P, H] = hess (A)

计算矩阵 A 的 Hessenberg 分解。

Hessenberg 分解为 P * H * P' = A，其中 P 是酉矩阵（P' * P = I，使用复共轭转置），H 是上 Hessenberg 矩阵（H(i, j) = 0 forall i > j+1)。

Hessenberg 分解通常被用作特征值计算的第一步，但也有其他应用（参见 Golub、Nash 和 Van Loan，IEEE Transactions on Automatic Control，1979）。

另请参阅： eig, chol, lu, qr, qz, schur, svd.

 
[L, U] = lu (A)
[L, U, P] = lu (A)
[L, U, P, Q] = lu (S)
[L, U, P, Q, R] = lu (S)
[…] = lu (S, thresh)
y = lu (…)
[…] = lu (…, "vector")

计算 A 的 LU 分解。

如果 A 是满矩阵，则使用 LAPACK 的子程序；如果 A 是稀疏矩阵，则使用 UMFPACK。

根据可选的返回值 P，结果以置换后的形式返回。例如，给定矩阵 A = [1, 2; 3, 4]， 

[L, U, P] = lu (A)

返回 

L =

  1.00000  0.00000
  0.33333  1.00000

U =

  3.00000  4.00000
  0.00000  0.66667

P =

  0  1
  1  0

矩阵不要求是方阵。

当使用两个或三个输出参数且输入为稀疏矩阵时，lu 不会尝试执行保持稀疏性的列置换。当使用四个输出参数调用时，将返回保持稀疏性的列变换 Q，使得 P * A * Q = L * U。这是对稀疏输入矩阵调用 lu 的首选方式。

当使用五个输出参数且输入为稀疏矩阵时，lu 尝试在输入矩阵上使用比例因子 R，使得 P * (R \ A) * Q = L * U。这通常会产生更稀疏且更稳定的分解。

可以提供一个额外的输入参数 thresh 来定义枢轴阈值。thresh 可以是标量，在这种情况下它定义 UMFPACK 对称和非对称情况下的枢轴容限。如果 thresh 是一个 2 元素向量，则第一个元素定义非对称 UMFPACK 枢轴策略的容限，第二个元素定义对称策略的容限。默认情况下，使用 spparms 定义的值（[0.1, 0.001]）。

给定字符串参数 "vector"，lu 将 P 和 Q 作为向量值返回，使得对于满矩阵，A(P,:) = L * U，以及 R(P,:) * A(:,Q) = L * U。

当使用两个输出参数调用时，返回上三角矩阵和下三角矩阵的置换形式，使得 A = L * U。当使用一个输出参数 y 调用时，返回从 LAPACK 子程序返回的矩阵。如果输入矩阵是稀疏的，则矩阵 L 嵌入到 U 中，以给出类似于满矩阵情况的返回值。对于满矩阵和稀疏矩阵，lu 都会丢失置换信息。

另请参阅： luupdate, ilu, chol, hess, qr, qz, schur, svd.

 
[L, U] = luupdate (L, U, x, y)
[L, U, P] = luupdate (L, U, P, x, y)

给定实矩阵或复矩阵 A = L*U 的 LU 分解，L 为单位下梯形矩阵，U 为上梯形矩阵，返回 A + x*y.' 的 LU 分解，其中 x 和 y 是列向量（秩 1 更新）或列数相等的矩阵（秩 k 更新）。

可选地，可以通过提供行置换（枢轴）矩阵 P 来使用行枢轴更新；在这种情况下，将返回更新后的置换矩阵。请注意，如果 L、U、P 是从 lu 获得的枢轴 LU 分解： 

[L, U, P] = lu (A);

则 A+x*y.' 的分解可以通过以下方式获得 

[L1, U1] = lu (L, U, P*x, y)

或 

[L1, U1, P1] = lu (L, U, P, x, y)

第一种形式使用非枢轴算法，速度更快但稳定性较差。第二种形式使用较慢的枢轴算法，稳定性更好。

矩阵情况作为一系列秩 1 更新来实现；因此，对于足够大的 k，从头开始重新计算分解会更快且更准确。

另请参阅： lu, cholupdate, qrupdate.

 
[Q, R] = qr (A)
[Q, R, P] = qr (A)
R = qr (A)
[C, R] = qr (A, B)
[C, R, P] = qr (A, B)
X = qr (A, B) # 仅稀疏
[…] = qr (…, "econ")
[…] = qr (…, "vector")
[…] = qr (…, "matrix")
[…] = qr (…, 0)

计算 A 的 QR 分解。

QR 分解为 

Q * R = A

其中 Q 是正交矩阵，R 是上三角矩阵。

例如，给定矩阵 A = [1, 2; 3, 4]， 

[Q, R] = qr (A)

返回 

Q =

  -0.31623  -0.94868
  -0.94868   0.31623

R =

  -3.16228  -4.42719
   0.00000  -0.63246

将它们相乘后得到原始矩阵 

Q * R
  ⇒
     1.0000   2.0000
     3.0000   4.0000

如果只请求一个返回值，则它是 R。（注意：与大多数命令不同，单个返回值不是请求多个值时的第一个返回值。）

如果请求第三个输出 P，则 qr 计算置换 QR 分解 

Q * R = A * P

其中 Q 是正交矩阵，R 是上三角矩阵，P 是置换矩阵。

如果 A 是稠密的，则使用标准 LAPACK 子程序计算 QR 分解。在这种情况下，置换分解具有额外的属性：R 的对角元素按幅值递减排列。换句话说，abs (diag (R)) 将从大到小排序。

如果 A 是稀疏的，则 P 是 A 的列的一种减少填充的排序。在这种情况下，R 的对角元素不是按幅值递减排序的。

例如，给定矩阵 A = [1, 2; 3, 4]， 

[Q, R, P] = qr (A)

返回 

Q =

  -0.44721  -0.89443
  -0.89443   0.44721

R =

  -4.47214  -3.13050
   0.00000   0.44721

P =

   0  1
   1  0

如果输入矩阵 A 是稀疏的，则使用 SPQR 或 CXSPARSE 计算稀疏 QR 分解（例如，如果 SPQR 不可用）。由于矩阵 Q 通常是满矩阵，建议只请求一个返回值 R。在这种情况下，计算避免构造 Q，并返回一个稀疏的 R，使得 R = chol (A' * A)。

如果 A 是稠密的，并且提供了额外的输入矩阵 B，且请求两个返回值，则 qr 返回 C，其中 C = Q' * B。这样可以通过以下方式计算 A \ B 的最小二乘逼近： 

[C, R] = qr (A, B)
X = R \ C

如果 A 是稀疏的 MxN 矩阵，并且提供了额外的矩阵 B，则可能有一个或两个返回值。如果请求一个返回值 X 且 M < N，则 X 是 A \ B 的最小 2-范数解。如果 M >= N，则 X 是 A \ B 的最小二乘逼近。如果请求两个返回值，则 C 和 R 的含义与稠密情况相同（C 是稠密的，R 是稀疏的）。应优先使用一个返回参数的版本，因为它消耗更少的内存，并且能更好地处理秩亏矩阵。

如果最后一个参数是字符串 "vector"，则 P 是置换向量（A 的列），而不是置换矩阵。在这种情况下，定义关系为： 

Q * R = A(:, P)

然而，默认情况是返回置换矩阵，这可以通过最后一个参数 "matrix" 来明确指定。

如果可选参数是字符串 "econ"，则返回经济型分解。如果原始矩阵 A 的大小为 MxN 且 M > N，则经济型分解只计算 R 中的 N 行和 Q 中的 N 列，省略 R 中的零行。如果 M ≤ N，则经济型分解与标准分解没有区别。

如果可选参数是数字 0，则 qr 的行为如同同时给出了 "econ" 和 "vector" 参数。注意：此语法仍然被接受，但不推荐使用，将来可能会被移除。请改用 "econ"。

背景：QR 分解在求解最小二乘问题中有应用 

min norm (A*x - b)

用于超定方程组（即 A 是高矩阵）。

置换 QR 分解 [Q, R, P] = qr (A) 可用于构造 span (A) 的一组正交基。

另请参阅： chol, hess, lu, qz, schur, svd, qrupdate, qrinsert, qrdelete, qrshift.

 
[Q1, R1] = qrupdate (Q, R, u, v)

在给定更新向量或矩阵的情况下更新 QR 分解。

给定实矩阵或复矩阵 A = Q*R 的 QR 分解，Q 为酉矩阵，R 为上梯形矩阵，返回 A + u*v' 的 QR 分解，其中 u 和 v 是列向量（秩 1 更新）或列数相等的矩阵（秩 k 更新）。请注意，后一种情况是通过一系列秩 1 更新实现的；因此，对于足够大的 k，从头开始重新计算分解会更快且更准确。

所提供的 QR 分解可以是完全的（Q 为方阵）或经济的（R 为方阵）。

另请参阅： qr, qrinsert, qrdelete, qrshift.

 
[Q1, R1] = qrinsert (Q, R, j, x, orient)

在原始分解矩阵中插入一行或一列后，更新 QR 分解。

给定实矩阵或复矩阵 A = Q*R 的 QR 分解，Q 为酉矩阵，R 为上梯形矩阵，返回 [A(:,1:j-1), x, A(:,j:n)] 的 QR 分解（如果 orient 是 "col"，其中 x 是要插入 A 的列向量），或 [A(1:j-1,:); x; A(:,j:n)] 的 QR 分解（如果 orient 是 "row"，其中 x 是要插入 A 的行向量）。

orient 的默认值是 "col"。如果 orient 是 "col"，u 可以是矩阵，j 可以是索引向量，此时返回矩阵 B 的 QR 分解，使得 B(:,j) = u 且 B(:,j) = [] 给出 A。请注意，后一种情况是通过一系列 k 次插入实现的；因此，对于足够大的 k，从头开始计算分解会更快且更准确。

如果 orient 是 "col"，所提供的 QR 分解可以是完全的（Q 为方阵）或经济的（R 为方阵）。

如果 orient 是 "row"，则需要完全分解。

另请参阅： qr, qrupdate, qrdelete, qrshift.

 
[Q1, R1] = qrdelete (Q, R, j, orient)

从原始分解矩阵中删除一行或一列后，更新 QR 分解。

给定实矩阵或复矩阵 A = Q*R 的 QR 分解，Q 为酉矩阵，R 为上梯形矩阵，返回 [A(:,1:j-1), A(:,j+1:n)] 的 QR 分解（如果 orient 是 "col"），或 [A(1:j-1,:); A(j+1:n,:)] 的 QR 分解（如果 orient 是 "row"）。orient 的默认值是 "col"。

如果 orient 是 "col"，j 可以是索引向量，此时返回矩阵 B 的 QR 分解，使得 A(:,j) = [] 给出 B。请注意，后一种情况是通过一系列 k 次删除实现的；因此，对于足够大的 k，从头开始重新计算分解会更快且更准确。

如果 orient 是 "col"，所提供的 QR 分解可以是完全的（Q 为方阵）或经济的（R 为方阵）。

如果 orient 是 "row"，则需要完全分解。

另请参阅： qr, qrupdate, qrinsert, qrshift.

 
[Q1, R1] = qrshift (Q, R, i, j)

在原始分解矩阵中移动一定范围的列后，更新 QR 分解。

给定实矩阵或复矩阵 A = Q*R 的 QR 分解，Q 为酉矩阵，R 为上梯形矩阵，返回 A(:,p) 的 QR 分解，其中 p 是置换
p = [1:i-1, circshift(i:j, 1), j+1:n] 如果 i < j
或
p = [1:j-1, circshift(j:i,-1), i+1:n] 如果 j < i。

另请参阅： qr, qrupdate, qrinsert, qrdelete.

 
 
[AA, BB, Q, Z, V, W] = qz (A, B)
[AA, BB, Q, Z, V, W] = qz (A, B, opt)

计算广义特征值问题的 QZ 分解。

广义特征值问题定义为

A x = lambda B x

该函数有两种调用形式：

  1. [AA, BB, Q, Z, V, W] = qz (A, B)

    计算复 QZ 分解、广义特征向量和广义特征值。 

    
AA = Q * A * Z, BB = Q * B * Z
A * V * diag (diag (BB)) = B * V * diag (diag (AA))
diag (diag (BB)) * W' * A = diag (diag (AA)) * W' * B

    其中 AA 和 BB 是上三角矩阵，Q 和 Z 是酉矩阵。矩阵 V 和 W 分别包含右广义特征向量和左广义特征向量。

  2. [AA, BB, Q, Z, V, W] = qz (A, B, opt)

    opt 参数必须等于 "real" 或 "complex"。如果等于 "complex"，则此调用形式与只有两个输入参数的第一种形式等价。

    如果 opt 等于 "real"，则计算实 QZ 分解。特别地，AA 仅保证为准上三角矩阵，对角线上有 1x1 和 2x2 的块，而 Q 和 Z 是正交矩阵。上述右广义特征向量和左广义特征向量的等式仅在 AA 是上三角矩阵时成立（即所有广义特征值都是实数时，此时实 QZ 和复 QZ 重合）。

注意：qz 执行置换平衡，但不执行缩放（参见 balance），这可能导致结果比 eig 的精度稍差。输出参数的顺序是为与 MATLAB 兼容而选择的。

对于特征值，请使用 ordeig 函数根据得到的 AA 和 BB 矩阵计算它们。

另请参阅： eig, gsvd, balance, chol, hess, lu, qr, qzhess, schur, ordeig.

 
[aa, bb, q, z] = qzhess (A, B)

计算矩阵束 (A, B) 的 Hessenberg-三角分解，返回 aa = q * A * z， bb = q * B * z，其中 q 和 z 是正交矩阵。

例如： 

[aa, bb, q, z] = qzhess ([1, 2; 3, 4], [5, 6; 7, 8])
  ⇒  aa =
      -3.02244  -4.41741
       0.92998   0.69749
  ⇒  bb =
      -8.60233  -9.99730
       0.00000  -0.23250
  ⇒  q =
      -0.58124  -0.81373
      -0.81373   0.58124
  ⇒  z =
     Diagonal Matrix
       1   0
       0   1

Hessenberg-三角分解是 Moler 和 Stewart 的 QZ 分解算法的第一步。

算法取自 Golub 和 Van Loan 的《Matrix Computations, 2nd edition》。

另请参阅： lu, chol, hess, qr, qz, schur, svd.

 
S = schur (A)
S = schur (A, "real")
S = schur (A, "complex")
S = schur (A, opt)
[U, S] = schur (…)

计算 A 的 Schur 分解。

方阵 A 的 Schur 分解定义为 

S = U' * A * U

其中 U 是酉矩阵（U'* U 是单位阵），S 是上三角矩阵。A（和 S）的特征值是 S 的对角元素。如果矩阵 A 是实数，则计算实 Schur 分解，其中矩阵 U 是正交矩阵，S 是块上三角矩阵，对角线上的块大小最多为 2 x 2。

实矩阵的默认行为是实 Schur 分解。可以通过传递标志 "complex" 来强制进行复分解。

特征值可选地根据 opt 的值沿对角线排序：

opt = "a"

将具有负实部的特征值移到 S 的前导块。助记符："a" 代表代数 Riccati 方程，此排序在其中很有用。

opt = "d"

将模小于 1 的特征值移到 S 的前导块。助记符："d" 代表离散代数 Riccati 方程，此排序在其中很有用。

opt = "u"

无序。无特定的特征值排序（默认）。

U 的前 k 列总是张成对应于 S 的前 k 个特征值的 A-不变子空间。

另请参阅： rsf2csf, ordschur, trexc, ordeig, lu, chol, hess, qr, qz, svd, eig.

 
[U, T] = rsf2csf (UR, TR)

将实准上三角 Schur 形式 TR 转换为复上三角 Schur 形式 T。

注意，以下关系成立： UR * TR * UR' = U * T * U' 且 U' * U 是单位矩阵 I。

另请注意，U 和 T 不是唯一的。

另请参阅： schur, ordschur, trexc.

 
[UR, SR] = ordschur (U, S, select)

重新排序从 schur 函数获得的实 Schur 分解 (U,S)，使得所选特征值出现在准三角 Schur 矩阵的左上角对角块中。

逻辑向量 select 指定沿 S 的对角线出现的所选特征值。

例如，给定矩阵 A = [1, 2; 3, 4] 及其 Schur 分解 

[U, S] = schur (A)

返回 

U =

  -0.82456  -0.56577
   0.56577  -0.82456

S =

  -0.37228  -1.00000
   0.00000   5.37228

可以通过以下方式重新排序分解，使正特征值位于左上角： 

[U, S] = ordschur (U, S, [0,1])

另请参阅： schur, trexc, ordeig, ordqz.

 
[U, T] = trexc (U, T, M)

使用 LAPACK 函数 ZTREXC 重新排序 Schur 分解。

给定酉矩阵 U 和来自 Schur 分解 A = U*T*U' 的上三角 Schur 形式 T，此函数根据 M 中的交换规范重新排序 T 的对角元素。

M 的每一行包含两个索引 [IFST, ILST]，指定位置 IFST 处的对角元素应移动到位置 ILST。交换按顺序执行。

另请参阅： schur, ordschur.

 
[AR, BR, QR, ZR] = ordqz (AA, BB, Q, Z, keyword)
[AR, BR, QR, ZR] = ordqz (AA, BB, Q, Z, select)

重新排序广义特征值问题的 QZ 分解。

广义特征值问题定义为

A x = lambda B x

其广义 Schur 分解使用 qz 算法计算：

[AA, BB, Q, Z] = qz (A, B)

其中 AA、BB、Q 和 Z 满足 


AA = Q * A * Z, BB = Q * B * Z

ordqz 函数计算酉变换 QR 和 ZR，使得 AA 和 BB 对角线上特征值的顺序发生改变。重新排序后的矩阵 AR 和 BR 满足： 


AR = QR * A * ZR, BR = QR * B * ZR

该函数可以用 keyword 参数调用，该参数按以下方式选择 AR 和 BR 左上角块中的特征值：

"S", "udi"

小：前导块具有所有 |lambda| < 1

"B", "udo"

大：前导块具有所有 |lambda| ≥ 1

"-", "lhp"

负实部：前导块具有所有在开左半平面的特征值

"+", "rhp"

非负实部：前导块具有所有在闭右半平面的特征值

如果给定逻辑向量 select 而不是关键字，则 ordqz 函数将所有 select(k) 为真的特征值 k 重新排序到左块。

注意：关键字与 qr 中的关键字兼容。

另请参阅： eig, ordeig, qz, schur, ordschur.

 
lambda = ordeig (A)
lambda = ordeig (A, B)

返回准三角矩阵的特征值，按它们在矩阵 A 中出现的顺序排列。

准三角矩阵 A 通常是 Schur 分解的结果。如果使用第二个输入 B 调用，则返回对 A、B 的广义特征值，按矩阵 A-lambda*B 中出现的顺序排列。对 A、B 通常是 QZ 分解的结果。

另请参阅： ordschur, ordqz, eig, schur, qz.

 
angle = subspace (A, B)

确定由矩阵 A 和 B 的列张成的两个子空间之间的最大主角。

参考文献： Andrew V. Knyazev, Merico E. Argentati, "Principal Angles between Subspaces in an A-Based Scalar Product: Algorithms and Perturbation Estimates", SIAM Journal on Scientific Computing, Vol. 23, No. 6, pp. 2008-2040.

 
s = svd (A)
[U, S, V] = svd (A)
[U, S, V] = svd (A, "econ")
[U, S, V] = svd (A, 0)

计算 A 的奇异值分解。

奇异值分解由关系式定义 

A = U*S*V'

函数 svd 通常只返回奇异值向量。当使用三个返回值调用时，它计算 U、S 和 V。例如， 

svd (hilb (3))

返回 

ans =

  1.4083189
  0.1223271
  0.0026873

且 

[u, s, v] = svd (hilb (3))

返回 

u =

  -0.82704   0.54745   0.12766
  -0.45986  -0.52829  -0.71375
  -0.32330  -0.64901   0.68867

s =

  1.40832  0.00000  0.00000
  0.00000  0.12233  0.00000
  0.00000  0.00000  0.00269

v =

  -0.82704   0.54745   0.12766
  -0.45986  -0.52829  -0.71375
  -0.32330  -0.64901   0.68867

当给定第二个参数（非 0）时，svd 返回经济型分解，消除 U 或 V 中不必要的行或列。

如果第二个参数恰好是 0，则分解的选择基于矩阵 A。如果 A 的行数多于列数，则返回经济型分解，否则计算常规分解。

算法说明：计算完全分解（左右奇异矩阵以及奇异值）时，LAPACK 中有两个子程序可选。Octave 使用的默认子程序是 gesvd。替代方案是 gesdd，速度提升 5 倍，但可能使用更多内存，且对某些输入矩阵可能不准确。还有第三个子程序 gejsv，适用于在极端规模下获得更好的精度。有关选择驱动器的更多信息，请参见 svd_driver 的文档。

另请参阅： svd_driver, svds, eig, lu, chol, hess, qr, qz.

 
val = svd_driver ()
old_val = svd_driver (new_val)
old_val = svd_driver (new_val, "local")

查询或设置 svd 使用的底层 LAPACK 驱动器。

当前可识别的值为 "gesdd"、"gesvd" 和 "gejsv"。默认值为 "gesvd"。

当从函数内部以 "local" 选项调用时，该变量在该函数及其调用的任何子例程中局部更改。退出函数时恢复原始变量值。

算法说明：LAPACK 库子程序 gesvd 和 gesdd 仅在计算完全奇异值分解时有所不同（左右奇异矩阵以及奇异值）。当仅计算奇异值时，以下讨论不相关。

较新的 gesdd 子程序基于分治算法，速度比基于 QR 分解的替代方案 gesvd 快 5 倍。然而，新算法可能使用明显更多的内存。对于 MxN 输入矩阵，内存使用量为 O(min(M,N) ^ 2)，而替代方案为 O(max(M,N))。

gejsv 子程序使用预处理 Jacobi SVD 算法。与 gesvd 和 gesdd 不同，gejsv 中没有可能会污染极端情况下精度的双对角化步骤。同时，gejsv 在某种意义上已知具有最优精度。然而，速度较慢（核心是单线程）且使用更多内存（O(min(M,N) ^ 2 + M + N)）。

除了速度和内存问题外，还存在某些输入矩阵无法被 gesdd 准确分解的情况。请参见当前活跃的 bug https://savannah.gnu.org/bugs/?55564。在 LAPACK 库的新版本解决这些精度问题之前，Octave 中的默认驱动器已设置为 "gesvd"。

另请参阅： svd.

 
[housv, beta, zer] = housh (x, j, z)

计算 Householder 反射向量 housv，将 x 反射到单位矩阵的第 j 列，即 

(I - beta*housv*housv')x =  norm (x)*e(j) if x(j) < 0,
(I - beta*housv*housv')x = -norm (x)*e(j) if x(j) >= 0

输入

x

向量

j

向量中的索引

z

零的阈值（通常应为数字 0）

输出（参见 Golub 和 Van Loan）：

beta

如果 beta = 0，则无需应用反射（zer 设置为 0）

housv

Householder 向量

 
[u, h, nu] = krylov (A, V, k, eps1, pflg)

构造块 Krylov 子空间的正交基 u。

块 Krylov 子空间具有以下形式： 

[v a*v a^2*v ... a^(k+1)*v]

构造使用 Householder 反射来防止正交性的丧失。

如果 V 是向量，则 h 包含 Hessenberg 矩阵，使得 a*u == u*h+rk*ek'，其中 rk = a*u(:,k)-u*h(:,k)，而 ek' 是长度为 k 的向量 [0, 0, ..., 1]。否则，h 无意义。

如果 V 是向量且 k 大于 length (A) - 1，则 h 包含 Hessenberg 矩阵，使得 a*u == u*h。

nu 的值是 Krylov 子空间张成的维数（基于 eps1）。

如果 b 是向量且 k 大于 m-1，则 h 包含 A 的 Hessenberg 分解。

可选参数 eps1 是零的阈值。默认值为 1e-12。

如果可选参数 pflg 非零，则使用行枢轴来改善数值行为。默认值为 0。

参考文献：A. Hodel, P. Misra, "Partial Pivoting in the Computation of Krylov Subspaces of Large Sparse Systems", Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control, December 2003.

下一个：，前一个：，上级：线性代数   [目录][索引]