矩阵的函数 (GNU Octave(版本11.1.0))

18.4 矩阵的函数¶

r = expm (A) ¶

返回矩阵的指数。

矩阵指数定义为无穷级数泰勒展开

expm (A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ...

然而，泰勒级数并非计算矩阵指数的可行方法；请参阅 Moler 和 Van Loan 的 "Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix", SIAM Review, 1978。该例程使用了 Ward 的对角 Padé 近似方法，并采用三步预处理（ SIAM Journal on Numerical Analysis, 1977）。对角 Padé 近似是矩阵的有理多项式

     -1
D (A)   N (A)

其泰勒级数与上述泰勒级数的前 2q+1 项相匹配；当 Dq(A) 是病态时，直接计算泰勒级数（使用相同的预处理步骤）可能比 Padé 近似更可取。

另请参阅： logm, sqrtm.

s = logm (A) ¶

s = logm (A, opt_iters) ¶

[s, iters] = logm (…) ¶

计算平方矩阵 A 的矩阵对数。

该实现利用了 Padé 近似和恒等式

logm (A) = 2^k * logm (A^(1 / 2^k))

可选输入 opt_iters 是要计算的最大平方根数，默认为 100。

可选输出 iters 是实际计算的平方根数。

另请参阅： expm, sqrtm.

s = sqrtm (A) ¶

[s, error_estimate] = sqrtm (A) ¶

计算平方矩阵 A 的矩阵平方根。

参考: N.J. Higham, A New sqrtm for MATLAB, Numerical Analysis Report No. 336, Manchester Centre for Computational Mathematics, Manchester, England, January 1999.

另请参阅： expm, logm.

F = funm (A, fun) ¶

F = funm (A, fun, options) ¶

F = funm (A, fun, options, p1, …) ¶

[F, exitflag] = funm (…) ¶

[F, exitflag, output] = funm (…) ¶

计算一般的矩阵函数。

funm (A, fun) 在方阵 A 上计算函数 fun 的值。输入 fun (x, k) 必须返回函数 fun 在向量 x 处求值的 k 阶导数。函数 fun 必须具有泰勒级数表示，且收敛半径为无穷大。

特殊函数 exp、log、sin、cos、 sinh 和 cosh 可以通过函数句柄传递；例如 funm (A, @cos).

对于矩阵开方，使用sqrtm代替。对于矩阵指数，根据A的不同， expm或funm (A, @exp)可能更快或更准确。

可选的第三个输入以选项结构体 options 的形式使用，可以用来指定函数详细输出并影响某些算法。有关后者的更多详细信息，请参阅下面的参考文献。

options 可以有字段如下：

Display: 指定在计算过程中有哪些信息会打印到屏幕上。可以是一个字符串值："off"（无信息，默认值）， "on"（一些信息）， "verbose"（最多信息）；或者是一个 0（无信息，默认值）到 5（最多信息）之间的标量值。当 Display 为 "verbose" 或标量值 ≥ 3 时，还会显示特征值和群的图。
TolBlk: 用于确定阻塞的容差（正标量，默认值：0.1）。
TolTay: 用于确定泰勒级数收敛的容差（正标量，默认值：eps）。
MaxTerms: 泰勒级数的最大项数（正整数，默认值：250）。
MaxSqrt: 在逆缩放和平方过程中执行的最大的平方根数（正整数，默认值：100）。此选项仅用于计算对数，且其函数类似于 MaxTerms。
Ord: 定义一个自定义的排序模式，用向量方式定义，其长度等于矩阵A的阶数。

Octave 支持这些字段的任何大小写。

所有在 options 之后的输入都将作为位置参数传递给函数 fun.

标量，描述退出条件：

0 — 算法成功完成。
1 — 一个或多个泰勒展开没有收敛，计算的F值可能不准确。

output

包含以下字段的结构体：

terms: 向量，其中output.terms(i)是评估第i个块时使用的泰勒级数项数，或者在对数的情况下，是维数大于2的矩阵的平方根的数量。
ind: 元胞数组，其中第(i,j)块在重新排序的舒尔因子T中是 T(output.ind{i}, output.ind{j}).
ord: 舒尔型的顺序，传递给 ordschur.
T: 重新排序的舒尔型.

如果舒尔型是对角的，则 output = struct ("terms", ones (n, 1), "ind", {1:n}, "ord", [], "T", T).

示例代码：

F = funm (magic (3), @sin);
⇒ F =
   -0.3850    1.0191    0.0162
    0.6179    0.2168   -0.1844
    0.4173   -0.5856    0.8185

下面的代码

S = funm (X, @sin);
C = funm (X, @cos);

将（在可能的舍入误差范围内）和下面的代码产生相同的结果

E = expm (i*X);
C = real (E);
S = imag (E);

引用:

Philip I. Davies and Nicholas J. Higham, "A Schur-Parlett algorithm for computing matrix functions", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 25(2), pp. 464–485, 2003.

Nicholas J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, SIAM, pp. 425, 2008, ISBN 978-0-898716-46-7.

另请参阅： expm, logm, sqrtm.

C = kron (A, B) ¶

C = kron (A1, A2, …) ¶

形成两个或多个矩阵的克罗内克乘积。

这被按块定义为

c = [ a(i,j)*b ]

例如

kron (1:4, ones (3, 1))
     ⇒   1  2  3  4
         1  2  3  4
         1  2  3  4

如果有两个以上的输入参数 A1, A2, …, An，克罗内克乘积计算为

kron (kron (A1, A2), ..., An)

因为克罗内克积是关联的，所以这是定义明确的。

另请参阅： tensorprod.

C = tensorprod (A, B, dimA, dimB) ¶

C = tensorprod (A, B, dim) ¶

C = tensorprod (A, B) ¶

C = tensorprod (A, B, "all") ¶

C = tensorprod (A, B, …, "NumDimensionsA", value) ¶

计算数值张量 A 和 B 之间的张量积。

A 和 B 中要缩并的维度分别由 dimA 和 dimB 定义。dimA 和 dimB 是标量或等长向量，定义要匹配的维度。A 和 B 的匹配维度必须具有相同数量的元素。

仅当使用 dim 时，它相当于 dimA = dimB = dim。

当没有指定维度时，dimA = dimB = []。这计算 A 和 B 之间的外积。

使用 "all" 参数会导致 A 和 B 之间的内积。这要求 size (A) == size (B)。

使用属性值对，属性名称为 "NumDimensionsA"，当 A 具有应转移到 C 的尾随单例维度时使用。指定的 value 应为 A 的总维度数。

MATLAB 兼容性：Octave 当前不支持 "property_name=value" 语法用于 "NumDimensionsA" 参数。

另请参阅： kron, dot, mtimes.

C = blkmm (A, B) ¶

计算矩阵块的乘积。

块作为数组的二维子数组给出 A 和 B。A 的大小必须具有形式 [m,k,…]，B 的大小必须是 [k,n,…]。结果的大小为 [m,n,…]，计算如下：

for i = 1:prod (size (A)(3:end))
  C(:,:,i) = A(:,:,i) * B(:,:,i)
endfor

X = sylvester (A, B, C) ¶

求解 Sylvester 方程。

Sylvester 方程定义为：

A X + X B = C

该解使用标准 LAPACK 子程序计算。

例如：

sylvester ([1, 2; 3, 4], [5, 6; 7, 8], [9, 10; 11, 12])
   ⇒    [ 0.50000, 0.66667; 0.66667, 0.50000 ]