迭代技术(GNU Octave(版本10.1.0))

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22.3稀疏矩阵的迭代技术¶

左除\和右除/运算符,在上一节中讨论过,使用直接解算器来求解形式为x = A \ b或x = b / AOctave还包括使用迭代技术求解稀疏线性方程的许多函数。

: x = pcg (A, b, tol, maxit, m1, m2, x0, …) ¶

: x = pcg (A, b, tol, maxit, M, [], x0, …) ¶

: [x, flag, relres, iter, resvec, eigest] = pcg (A, b, …) ¶

求解线性方程组A * x = b 采用预处理共轭梯度迭代法。

输入参数为:

A是线性系统的矩阵,它必须是平方。A可以作为矩阵、函数句柄或内联函数传递Afcn使得Afcn(x) = A * x。的附加参数Afcn可能在之后通过x0.
A必须是埃尔米特和正定(HPD)。如果pcg检测A不是肯定的,打印一个警告flag设置输出。
b是右侧向量。
tol是残余误差所需的相对误差范围,b - A * x 。如果标准b - A * x)≤ tol * norm (b) 如果tol则使用1e-6的误差范围。
maxit是允许的最大迭代次数;如果maxit则使用值20。
m是HPD预处理矩阵。对于任何分解m = p1 * p2使得inv (p1) * A * inv (p2) 是HPD,共轭梯度法正式应用于线性系统inv (p1) * A * inv (p2) * y=inv(p1) * b 具有x = inv (p2) * y(分裂预处理)。在实践中,在共轭梯度法的每次迭代中,都使系统与矩阵等距m用解决mldivide.如果一个特定的因子分解m = m1 * m2是可用的(例如,的完全Cholesky因式分解a),两个矩阵m1和m2可以通过,并且相对线性系统用mldivide运算符请注意,正确选择预处理器可以显著提高该方法的整体性能。而不是矩阵m1和m2,用户可以传递两个函数,返回应用的逆运算的结果m1和m2到向量。如果m1被省略或为空[],则不应用任何预处理。如果没有的因子分解m是可用的,m2可以省略或保留[],并且输入变量m1可以用来通过预处理器m.
x0是最初的猜测。如果x0被省略或为空,则函数集x0默认情况下为零向量。

以下参数x0被视为参数,并以适当的方式传递给任何函数(A或m1或m2)已经给予pcg。有关更多详细信息,详见下面的示例。

输出参数为:

x是的解的计算近似值A * x = b 。如果算法没有收敛,那么x是具有最小残差的迭代。
flag关于趋同的返回:
- 0:算法收敛到规定的误差内。
- 1:该算法没有收敛,并且达到了最大迭代次数。
- 2:预处理矩阵是奇异的。
- 3:算法停滞,即当前迭代之间的差的绝对值x而前面的小于eps * norm (x,2).
- 4:算法检测到输入(预处理)矩阵不是HPD。
relres是最终残差与其初始值的比率,以欧几里得范数测量。
iter指示的迭代x对其进行了计算。因为输出x对应于最小剩余解,该方法执行的迭代总数从下式给出length(resvec) - 1.
resvec描述了该方法的收敛历史。resvec (i, 1)是残差的欧几里得范数,并且resvec (i, 2)是预处理残差形式,在(i-1) 第-次迭代,i = 1, 2, …, iter+1预处理残差范数定义为r' * (m \ r)这里的r = b - A * x,详见的说明m如果eigest不是必需的,只是resvec (:, 1)返回。
eigest返回最小值的估计值eigest(1)和最大的eigest(2)预处理矩阵的特征值P = m \ A 特别地,如果使用norepresenting,则的极端特征值的估计A返回。eigest(1)是一个高估和eigest(2)是低估了,所以eigest(2)eigest(1)是的下限cond (P, 2),然而在极限中理论上应该等于条件数的实际值。

让我们考虑一个三对角矩阵的平凡问题

n = 10;
A = toeplitz (sparse ([1, 1], [1, 2], [2, 1], 1, n));
b = A * ones (n, 1);
M1 = ichol (A); # in this tridiagonal case it corresponds to chol (A)'
M2 = M1';
M = M1 * M2;
Afcn = @(x) A * x;
Mfcn = @(x) M \ x;
M1fcn = @(x) M1 \ x;
M2fcn = @(x) M2 \ x;

示例1:最简单的使用pcg

x = pcg (A, b)

示例2: pcg具有一个计算A * x

x = pcg (Afcn, b)

示例3: pcg具有预处理矩阵M

x = pcg (A, b, 1e-06, 100, M)

示例4: pcg具有作为预处理器的函数

x = pcg (Afcn, b, 1e-6, 100, Mfcn)

示例5: pcg具有预处理矩阵M1和M2

x = pcg (A, b, 1e-6, 100, M1, M2)

示例6: pcg具有作为预处理器的函数

x = pcg (Afcn, b, 1e-6, 100, M1fcn, M2fcn)

示例7: pcg将需要参数的函数作为输入

  function y = Ap (A, x, p) # compute A^p * x
     y = x;
     for i = 1:p
       y = A * y;
     endfor
  endfunction
Apfcn = @(x, p) Ap (A, x, p);
x = pcg (Apfcn, b, [], [], [], [], [], 2);

示例8:明确的例子表明pcg使用asplit预处理器

M1 = ichol (A + 0.1 * eye (n)); # factorization of A perturbed
M2 = M1';
M = M1 * M2;

## reference solution computed by pcg after two iterations
[x_ref, fl] = pcg (A, b, [], 2, M)

## split preconditioning
[y, fl] = pcg ((M1 \ A) / M2, M1 \ b, [], 2)
x = M2 \ y # compare x and x_ref

参考文献:

C.T.Kelley,Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations,暹罗,1995年。(基本PCG算法)
Y.Saad,Iterative Methods for Sparse Linear Systems,PWS 1996。(PCG对病情数量的估计)本书的修订版可在线访问https://www-users.cs.umn.edu/~saad/books.html

详见: sparse, pcr, gmres, bicg, bicgstab, cgs.

function y = apply_m (x) k = floor (length (x) - 2); y = x; y(1:k) = x(1:k) ./ [1:k]'; endfunction [x, flag, relres, iter, resvec] = ... pcr (A, b, [], [], "apply_m") semilogy ([1:iter+1], resvec);

function y = apply_m (x, varargin) k = varargin{1}; y = x; y(1:k) = x(1:k) ./ [1:k]'; endfunction [x, flag, relres, iter, resvec] = ... pcr (A, b, [], [], "apply_m"', [], 3)

使用预处理矩阵可以加快迭代解算器收敛到解的速度M.在这种情况下,线性方程

M^-1 * x = M^-1 *
A \ b

而是被解决。典型的预处理矩阵是原始矩阵的部分因子分解。

A = [ 0.37, -0.05, -0.05, -0.07; -0.05, 0.116, 0.0, -0.05; -0.05, 0.0, 0.116, -0.05; -0.07, -0.05, -0.05, 0.202]; A = sparse (A); nnz (tril (A)) ans = 9 L = chol (A, "lower"); nnz (L) ans = 10 norm (A - L * L', "fro") / norm (A, "fro") ans = 1.1993e-16 opts.type = "nofill"; L = ichol (A, opts); nnz (L) ans = 9 norm (A - L * L', "fro") / norm (A, "fro") ans = 0.019736

nx = 400; ny = 200; hx = 1 / (nx + 1); hy = 1 / (ny + 1); Dxx = spdiags ([ones(nx, 1), -2*ones(nx, 1), ones(nx, 1)], [-1 0 1 ], nx, nx) / (hx ^ 2); Dyy = spdiags ([ones(ny, 1), -2*ones(ny, 1), ones(ny, 1)], [-1 0 1 ], ny, ny) / (hy ^ 2); A = -kron (Dxx, speye (ny)) - kron (speye (nx), Dyy); nnz (tril (A)) ans = 239400 opts.type = "nofill"; L = ichol (A, opts); nnz (tril (A)) ans = 239400 norm (A - L * L', "fro") / norm (A, "fro") ans = 0.062327