专用解算器(GNU Octave(版本9.1.0))

前一个矩阵的函数上级线性代数[目录][指数]

18.5专业的解算器¶

:x= bicg (A,b)¶

:x= bicg (A,b,tol)¶

:x= bicg (A,b,tol,maxit)¶

:x= bicg (A,b,tol,maxit,M)¶

:x= bicg (A,b,tol,maxit,M1,M2)¶

:x= bicg (A,b,tol,maxit,M, [],x0)¶

:x= bicg (A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)¶

:x= bicg (A,b,tol,maxit,M, [],x0, …)¶

:x= bicg (A,b,tol,maxit,M1,M2,x0, …)¶

:[x,旗帜,relres,iter,resvec] = bicg (A,b, …)¶

求解线性方程组A * x=b采用双共轭梯度迭代法。

输入参数为:

A是线性系统的矩阵,它必须是平方。A可以作为矩阵、函数句柄或内联函数传递Afcn使得Afcn(x,“nottransp”)=A*x和Afcn(x,“transp”)=A'*x。的附加参数Afcn可能在之后通过x0.
b是右侧向量。它必须是行数与相同的列向量A.
tol是残余误差所需的相对公差,b-A * x。如果规范(b-A * x)≤tol*标准(b)如果tol则使用1e-6的公差。
maxit是允许的最大迭代次数;如果maxit则使用值20。
M1,M2是预处理器。预处理器M给定为M=M1 * M2二者都M1和M2可以作为矩阵或函数句柄或内联函数传递g使得g(x,“nottransp”)=M1\x或g(x,“nottransp”)=M2\x和g(x,“transp”)=M1' \x或g(x,“transp”)=M2' \x如果M1省略或为空,则不应用预处理。预处理系统在理论上等效于应用bicg线性系统的方法inv(M1)*A*发票(M2) *y=发票(M1) *b和inv(M2’)*A'*发票(M1') *z=发票(M2’) *b然后设置x=发票(M2) *y.
x0是最初的猜测。如果x0被省略或为空,则函数集x0默认情况下为零向量。

以下任何参数x0被视为参数,并以适当的方式传递给任何函数(Afcn或Mfcn)或者已经给予bicg.

输出参数为:

x是的解的计算近似值A * x=b。如果算法没有收敛,那么x是具有最小残差的迭代。
旗帜表示退出状态:
- 0:算法收敛到规定的容差内。
- 1:该算法没有收敛,并且达到了最大迭代次数。
- 2:预处理矩阵是奇异的。
- 3:算法停滞,即当前迭代之间的差的绝对值x而前面的小于eps*范数(x2..
- 4:算法无法继续,因为中间值太小或太大,无法进行可靠的计算。
relres是最终残差与其初始值的比率,以欧几里得范数测量。
iter是迭代x计算。
resvec是包含每次迭代时的残差的向量。执行的迭代总数从下式给出长resvec1..

考虑一个三对角矩阵的平凡问题

n=20;A=toeplitz(稀疏([1,1],[1,2],[2,1]*n^2,1,n))+。。。toeplitz(稀疏(1,2,1,n)*n/2。。。稀疏(1,2,1,1,n)*n/2);b=A*ones(n,1);重新启动=5;[M1,M2]=ilu(A);#在这种三元情况下,它对应于lu(A)M=M1*M2;Afcn=@(x,string)strcmp(string,“nottransp”)*(A*x)+。。。strcmp(字符串,“transp”)*(A'*x);Mfcn=@(x,string)strcmp(string,“nottransp”)*(M\x)+。。。strcmp(字符串,“transp”)*(M'\x);M1fcn=@(x,string)strcmp(string,“nottransp”)*(M1\x)+。。。strcmp(字符串,“transp”)*(M1'\x);M2fcn=@(x,string)strcmp(string,“nottransp”)*(M2\x)+。。。strcmp(字符串,“transp”)*(M2'\x);

示例1:的最简单用法bicg

x=bicg(A,b)

示例2: bicg具有一个计算A*x和A*x

x=bicg(Afcn,b,[],n)

示例3: bicg具有预处理矩阵M

x=bicg(A,b,1e-6,n,M)

示例4: bicg具有作为预处理器的函数

x=bicg(Afcn,b,1e-6,n,Mfcn)

示例5: bicg具有预处理矩阵M1和M2

x=bicg(A,b,1e-6,n,M1,M2)

示例6: bicg具有作为预处理器的函数

x=bicg(Afcn,b,1e-6,n,M1fcn,M2fcn)

示例7: bicg将需要参数的函数作为输入

函数y=Ap(A,x,string,z)##计算A^z*x或(A^z)'*x y=x;if(strcmp(字符串,“nottransp”))对于i=1:z y=A*y;elseif(strcmp(字符串,“transp”))的endfor i=1:z y=A'*y;endfor endifendfunctionApfcn=@(x,string,p)Ap(A,x,string、p);x=bicg(Apfcn,b,[],[],]],[],2);

参考

Y.Saad,稀疏线性系统的迭代方法,2003年第二版,SIAM。

详见: 稳定双共轭梯度,cgs,gmres,pcg,qmr,tfqmr.

n=20;A=toeplitz(稀疏([1,1],[1,2],[2,1]*n^2,1,n))+。。。toeplitz(稀疏(1,2,1,n)*n/2。。。稀疏(1,2,1,1,n)*n/2);b=A*ones(n,1);重新启动=5;[M1,M2]=ilu(A);#在这种三元情况下,它对应于lu(A)M=M1*M2;Afcn=@(x)A*x;Mfcn=@(x)M\x;M1fcn=@(x)M1\x;M2fcn=@(x)M2\x;

n=20;A=toeplitz(稀疏([1,1],[1,2],[2,1]*n^2,1,n))+。。。toeplitz(稀疏(1,2,1,n)*n/2。。。稀疏(1,2,1,1,n)*n/2);b=A*ones(n,1);重新启动=5;[M1,M2]=ilu(A);#在这种三标签的情况下,它对应于chol(A)M=M1*M2;Afcn=@(x)A*x;Mfcn=@(x)M\x;M1fcn=@(x)M1\x;M2fcn=@(x)M2\x;