F (x) = 0

output是一个结构体,包含有关的运行时信息fsolve算法。结构体中的字段为:

iterations

通过循环的迭代次数。

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successful

成功迭代的次数。

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funcCount

函数评估的数量。

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最终输出fjac包含Jacobian evaluatedat的值x.

注意:如果只有一个变量的非线性方程,则使用fzero通常是一个更好的主意。

关于用户提供的Jacobian的注意事项:作为算法的固有属性,对于残差向量已知的解向量,总是需要Jacobian,这是最后一个被接受的成功步骤。这通常是最后两次调用中的一次,但并不总是如此。如果在雅可比计算中重复使用残差计算的中间结果可以节省大量费用,那么最好的策略是使用OutputFcn:在评估向量的残差后,如果OutputFcn使用该向量调用,则中间结果应保存以供将来进行雅可比求值,并应保留到指定雅可比求值或直到OutputFcn被称为具有不同的向量,在这种情况下,它们应该被丢弃以支持这里的最大向量。以下是如何实现这一目标的简短示例:

function [fval, fjac] = user_fcn (x, optimvalues, state)
persistent sav = [], sav0 = [];
if (nargin == 1)
  ## evaluation call
  if (nargout == 1)
    sav0.x = x; # mark saved vector
    ## calculate fval, save results to sav0.
  elseif (nargout == 2)
    ## calculate fjac using sav.
  endif
else
  ## outputfcn call.
  if (all (x == sav0.x))
    sav = sav0;
  endif
  ## maybe output iteration status, etc.
endif
endfunction

## ...

fsolve (@user_fcn, x0, optimset ("OutputFcn", @user_fcn, ...))

详见: fzero,optimset.

以下是一个完整的示例。求解方程组

-2x^2 + 3xy   + 4 sin(y) = 6
 3x^2 - 2xy^2 + 3 cos(x) = -4

首先需要编写一个函数来计算给定函数的值。例如

function y = f (x)
  y = zeros (2, 1);
  y(1) = -2*x(1)^2 + 3*x(1)*x(2)   + 4*sin(x(2)) - 6;
  y(2) =  3*x(1)^2 - 2*x(1)*x(2)^2 + 3*cos(x(1)) + 4;
endfunction

然后,调用fsolve在给定的初始条件下求出方程组的理论根。例如,给定函数f如上所定义,

[x, fval, info] = fsolve (@f, [1; 2])

解决方案中的结果

x =

  0.57983
  2.54621

fval =

  -5.7184e-10
   5.5460e-10

info = 1

的值info = 1表示解决方案已收敛。

当没有提供雅可比时(如上面的例子),它是近似的数字。这需要更多的函数评估,因此效率较低。在上面的例子中,我们可以计算雅可比分析为

function [y, jac] = f (x)
  y = zeros (2, 1);
  y(1) = -2*x(1)^2 + 3*x(1)*x(2)   + 4*sin(x(2)) - 6;
  y(2) =  3*x(1)^2 - 2*x(1)*x(2)^2 + 3*cos(x(1)) + 4;
  if (nargout == 2)
    jac = zeros (2, 2);
    jac(1,1) =  3*x(2) - 4*x(1);
    jac(1,2) =  4*cos(x(2)) + 3*x(1);
    jac(2,1) = -2*x(2)^2 - 3*sin(x(1)) + 6*x(1);
    jac(2,2) = -4*x(1)*x(2);
  endif
endfunction

然后,Jacobian可以与以下调用一起使用fsolve:

[x, fval, info] = fsolve (@f, [1; 2], optimset ("jacobian", "on"));

这给出了与以前相同的解决方案。

:x= fzero (fcn,x0)¶

:x= fzero (fcn,x0,options)¶

:[x,fval] = fzero (…)¶

:[x,fval,info] = fzero (…)¶

:[x,fval,info,output] = fzero (…)¶

找到一个单变量函数的零。

fcn是一个函数句柄、内联函数或字符串,包含要计算的函数的名称。

x0应该是一个双元素向量,指定两个包含零的点。换句话说,在x0(1) 以及x02.从数学上讲,以下内容必须成立

sign (fcn(x0(1))) * sign (fcn(x0(2))) <= 0

如果x0如果是单个标量,则会探测几个附近和远处的值,试图获得有效的括号。如果不成功,则函数将失败。

options是一个指定附加参数的结构体。目前,fzero识别这些参数:"Display","FunValCheck","MaxFunEvals","MaxIter","OutputFcn"和"TolX".

"MaxFunEvals"禁止在停止搜索之前进行最大数量的函数评估。默认值为Inf。该值必须是正整数。

"MaxIter"禁止停止搜索之前的最大算法迭代次数。默认值为Inf。该值必须是正整数。

"TolX"指定解决方案的终止误差范围x。默认值为eps.

有关其他参数的描述,详见optimset。使用的默认值初始化参数结构体fzero使用options = optimset ("fzero").

退出时,函数返回x,近似零点,以及fval,处评估的函数x.

第三个输出info返回算法是否成功,并可能采用以下值之一:

• 1算法收敛到一个解。
• 0已达到最大迭代次数或函数求值次数。
• -1算法已被用户终止OutputFcn.
• -5该算法可能已经收敛到一个奇异点。

output是一个结构体,包含有关的运行时信息fzero算法。结构体中的字段为:

• 迭代通过循环的迭代次数。
• funcCount函数求值的数目。
• algorithm字符串"bisection, interpolation".
• 方括号x一个双元素向量,其最后一个方括号是沿着x轴的零。
• 方括号一个二元向量,其最后一个方括号为零。

详见: optimset,fsolve.

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