零元素处理 (GNU Octave(版本11.1.0))

21.5 零元素处理的差异¶

将对角矩阵和置换矩阵本身设置为特殊的矩阵对象，并因此对某些运算使用更智能的算法，这作为附带效果会导致在零元素处理上产生微小差异。本节的内容也适用于稀疏矩阵，将在下一章中讨论（请参见稀疏矩阵）。

IEEE 754 浮点标准定义了表达式 0*Inf 和 0*NaN 的结果为 NaN。这被广泛认为是一个良好的折衷方案，Octave 始终力求遵循这一标准。然而，某些专为结构化和稀疏矩阵最大化效率而设计的算法可能不符合 IEEE 754 浮点标准中关于零元素操作的规定——这些操作本应得到 NaN，例如 0*Inf、0/0 或 0*NaN。

处理结构化和稀疏矩阵的数值软件（包括 Octave）几乎总是区分"数值零"和"假定为零"。一个"数值零"是在可能发生任何浮点值的位置出现的零值，通常会作为显式值存储在内存中。相比之下，一个"假定为零"是由矩阵结构（对角、三角）或稀疏模式隐含的零矩阵元素；它的值通常不会在任何地方显式存储，而是由底层数据结构隐含。

主要的区别在于，一个假定零乘以或除以任何数都总是产生零，即使乘以 Inf 或除以 NaN 也是如此。这种行为的原因是底层算法实际上并未在任何位置执行数值乘法；结果只是被假定为零。

Octave 通过将底层算法分支到专门的实现来处理实际影响假定零的操作，从而缓解了这一问题。这主要是在计算效率与遵循浮点标准（即将假定零视为数值零）之间进行权衡。除了计算速度的差异之外，这种行为还会影响稀疏模式，在处理非常大的稀疏矩阵时应考虑到这一点，否则可能导致内存溢出错误。

在稀疏矩阵中将假定零视为数值零的运算示例：

speye (3)
⇒ 
Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 3 [33%])
  (1, 1) -> 1
  (2, 2) -> 1
  (3, 3) -> 1
Inf * speye (3)
⇒ 
Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 9 [100%])
  (1, 1) -> Inf
  (2, 1) -> NaN
  (3, 1) -> NaN
  (1, 2) -> NaN
  (2, 2) -> Inf
  (3, 2) -> NaN
  (1, 3) -> NaN
  (2, 3) -> NaN
  (3, 3) -> Inf
Inf * full (eye (3))
⇒ 
   Inf   NaN   NaN
   NaN   Inf   NaN
   NaN   NaN   Inf
speye (3) / 0
⇒ 
Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 9 [100%])
  (1, 1) -> Inf
  (2, 1) -> NaN
  (3, 1) -> NaN
  (1, 2) -> NaN
  (2, 2) -> Inf
  (3, 2) -> NaN
  (1, 3) -> NaN
  (2, 3) -> NaN
  (3, 3) -> Inf
full (eye (3)) / 0
⇒ 
   Inf   NaN   NaN
   NaN   Inf   NaN
   NaN   NaN   Inf

虽然在稀疏矩阵中，只有稀疏模式可能会受到某些操作的影响，但在处理对角矩阵时，这些操作还可能影响返回的类型。适用以下规则：

有限标量 * 对角矩阵是对角矩阵
非有限标量 * 对角矩阵是普通矩阵
对角矩阵 / 0 是普通矩阵
对角矩阵 / NaN 是普通矩阵
对角矩阵 / 任何其他标量是对角矩阵

例如：

3 * eye (3)
⇒ 
Diagonal Matrix
   3   0   0
   0   3   0
   0   0   3
Inf * eye (3)
⇒ 
      Inf      NaN      NaN
      NaN      Inf      NaN
      NaN      NaN      Inf
eye (3) / 0
⇒ 
      Inf      NaN      NaN
      NaN      Inf      NaN
      NaN      NaN      Inf
eye (3) / NaN
⇒ 
      NaN      NaN      NaN
      NaN      NaN      NaN
      NaN      NaN      NaN
eye (3) / Inf
⇒ 
Diagonal Matrix
   0   0   0
   0   0   0
   0   0   0
eye (3) / 2
⇒ 
Diagonal Matrix
   0.5000        0        0
        0   0.5000        0
        0        0   0.5000

请注意，Octave（以及 MATLAB）并不严格遵循 IEEE 754 浮点标准，在某些情况下（如下面的示例所示），底层算法在假定零下运作而不将其视为数值零。自 Octave 11 起，目标在于使 Octave 完全符合 IEEE 754 标准，从而对稠密矩阵、稀疏矩阵或任何其他特殊矩阵类型的运算产生一致的结果。因此，以下示例中的输出预计会在未来的 Octave 版本中发生变化。

假定零与数值零的效果示例：

diag (1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒ 
   NaN
     2
     3
sparse (1:3,1:3,1:3) * [NaN; 1; 1]
⇒ 
   NaN
     2
     3
[1,0,0;0,2,0;0,0,3] * [NaN; 1; 1]
⇒ 
   NaN
   NaN
   NaN