19.2 广播 ¶

广播（Broadcasting）是指 Octave 的二元运算符和函数在其矩阵或数组操作数（参数）大小不同时的行为方式。自 3.6.0 版本起，Octave 在使用逐元素二元运算符和函数时，会自动广播向量、矩阵和数组。广义而言，较小的数组会被"广播"到较大的数组上，直到它们具有兼容的形状。规则是：对应的数组维度必须满足以下条件之一：

1. 相等，或者
2. 其中之一为 1。

如果所有维度都相等，则不发生广播，执行普通的逐元素算术运算。对于高维数组，如果维度数量不同，则缺失的尾部维度被视为 1。当某个维度为 1 时，具有该单一维度的数组会沿该维度复制，直到与另一个数组的维度匹配。例如，考虑

x = [1 2 3;
     4 5 6;
     7 8 9];

y = [10 20 30];

x + y

如果没有广播，x + y 会因维度不匹配而产生错误。然而，有了广播，其效果相当于执行了以下操作：

x = [1 2 3
     4 5 6
     7 8 9];

y = [10 20 30
     10 20 30
     10 20 30];

x + y
⇒     11   22   33
      14   25   36
      17   28   39

也就是说，较小的数组（大小为 [1 3]）沿单一维度（行数）被复制，直到成为 [3 3]。然而，实际并未发生真正的复制。内部实现通过沿必要维度重用元素来达到预期效果，而无需在内存中复制数据。

两个数组可以相互广播，例如，计算向量元素与其自身的所有成对差值：

y - y'
⇒     0   10   20
    -10    0   10
    -20  -10    0

这里，大小为 [1 3] 和 [3 1] 的两个向量都被广播为 [3 3] 的矩阵，然后执行普通的矩阵减法。

广播的一种特殊情况可能为人熟知：当被广播数组的所有维度都为 1 时，即该数组是一个标量。因此，例如，x - 42 和 max (x, 2) 这样的操作就是广播的基本示例。

再看一个高维示例：假设 img 是一幅大小为 [m n 3] 的 RGB 图像，我们希望将每种颜色乘以不同的标量。以下代码通过广播实现这一操作：

img .*= permute ([0.8, 0.9, 1.2], [1, 3, 2]);

注意此处使用了 permute 来匹配 [0.8, 0.9, 1.2] 向量与 img 的维度。

对于未按广播语义编写的函数，可以使用 bsxfun 来强制它们进行广播。

C = bsxfun (f, A, B) ¶

将二元函数 f 逐元素应用于两个数组参数 A 和 B，必要时扩展任一输入参数中的单一维度。

f 是一个函数句柄、内联函数或包含要计算的函数名称的字符串。函数 f 必须能够接受两个等长的列向量参数，或一个列向量参数和一个标量。

A 和 B 的维度必须相等或为单一维度。数组的单一维度将被扩展到与另一个数组相同的维度。

另请参阅： arrayfun、cellfun。

广播仅在满足两个广播条件之一时应用。但和通常一样，当两个维度不同且都不为 1 时，广播不适用：

x = [1 2 3
     4 5 6];
y = [10 20
     30 40];
x + y

这将产生参数不兼容的错误。

除了常见的算术运算外，一些接受两个参数的函数也会进行广播。支持广播的函数和运算符的完整列表如下：

      plus      +
      minus     -
      times     .*
      rdivide   ./
      ldivide   .\
      power     .^
      lt        <
      le        <=
      eq        ==
      gt        >
      ge        >=
      ne        !=  ~=
      and       &
      or        |
      atan2
      hypot
      max
      min
      mod
      rem
      xor

      +=  -=  .*=  ./=  .\=  .^=  &=  |=

下面是一个展示广播威力的实际例子。Floyd-Warshall 算法用于计算图中每对顶点之间的最短路径长度。对于 n 阶图的邻接矩阵，朴素的实现可能如下所示：

for k = 1:n
  for i = 1:n
    for j = 1:n
      dist(i,j) = min (dist(i,j), dist(i,k) + dist(k,j));
    endfor
  endfor
endfor

对最内层循环进行向量化后，可能变成这样：

for k = 1:n
  for i = 1:n
    dist(i,:) = min (dist(i,:), dist(i,k) + dist(k,:));
  endfor
endfor

使用双向广播后，变成这样：

for k = 1:n
  dist = min (dist, dist(:,k) + dist(k,:));
endfor

对于一个包含 100 个顶点的图，三种技术的相对时间性能为：朴素代码 7.3 秒，单向量化代码 87 毫秒，完全广播代码 1.3 毫秒。对于一个包含 1000 个顶点的图，向量化需要 11.7 秒，而广播仅需 1.15 秒。因此，通常值得编写具有广播语义的代码以获得更好的性能。

然而，请注意：如果简单的操作即可满足需求，不要盲目使用广播。对于矩阵 a 和 b，考虑以下代码：

c = sum (permute (a, [1, 3, 2]) .* permute (b, [3, 2, 1]), 3);

该操作在逐元素乘法过程中，将两个经过维度置换的矩阵相互广播，从而得到一个更大的三维数组，然后沿第三维对该数组求和。稍加思考便会发现，该操作其实就是快得多的普通矩阵乘法：c = a*b;。

术语说明："广播"（broadcasting）这个术语是由 Python 编程语言中的 Numpy 数值环境推广开来的。在其他编程语言和环境中，广播也可能被称为二元单例扩展（Binary Singleton Expansion，简称 BSX，在 MATLAB 中使用，也是 bsxfun 函数名称的由来）、回收（Recycling，R 编程语言）、单指令多数据（Single-Instruction Multiple Data，SIMD）或复制（Replication）。

• 广播与遗留代码